Báo cáo thực tập khác dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes

Tailieumau.net xin chia sẻ với các bạn bài báo cáo thc tp khác  Dáng điu tim cn nghim ca mt s h phương trình dng Navier-Stokes để làm mu báo cáo thc tp tt nghip.

Trích dn li nói đu đ các bn tham kho:

  1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình đạo hàm riêng bắt đầu được nghiên cứu vào giữa thế kỉ XVIII và phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỉ XIX cho đến nay. Nó được coi như chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Rất nhiều phương trình đạo hàm riêng là mô hình toán của các bài toán thực tế, đặc biệt là các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng. Lớp phương trình này xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, . . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát. Chúng cũng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học kĩ thuật như khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . . .

Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản, quan trọng trong cơ học chất lỏng là hệ Navier-Stokes, mô tả dòng chảy của chất lỏng thuần nhất, nhớt, không nén được, được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng

∂u

 t  νu + (u · ∇)u + ∇p          = g(x, t),

∇ · u                                                = 0,

ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và g là hàm ngoại lực.

Hệ phương trình Navier-Stokes đưa ra lần đầu tiên năm 1822, và được bắt đầu nghiên cứu mạnh từ nửa đầu thế kỉ XX với các công trình nền móng  của Leray (1934) và Hopf (1951). Sau gần một thế kỉ phát triển, lí thuyết hệ phương trình Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [14, 47, 48] và các bài tổng quan [4, 50]). Tuy nhiên, vẫn còn rất nhiều câu hỏi mở chưa được giải quyết, trong đó nổi bật là tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại toàn cục của nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes ba chiều. Những nỗ lực giải quyết bài toán này đã làm phát sinh nhiều hướng nghiên cứu mới thú vị. Một trong số đó là nghiên cứu các biến dạng của hệ phương trình Navier-Stokes. Những hệ như vậy xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lưu trong các điều kiện vật lí nhất định, chẳng hạn hệ Navier-Stokes-Voigt (trong một số tài liệu viết là Voight) xuất hiện khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng nhớt đàn hồi [38], hệ Navier-Stokes với số hạng tắt dần [6], hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu xuất hiện khi nghiên cứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa [33], hệ g-Navier-Stokes hai chiều xuất hiện khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes trong miền mỏng [43], các α-mô hình trong cơ học chất lỏng [16, 23, 25], hệ chất lưu loại hai xuất hiện khi nghiên cứu chất lỏng không Newton [39], hệ mô tả chuyển động của chất lưu với áp suất phụ thuộc độ nhớt [5], . . . Đây là một hướng nghiên cứu mới và rất thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới trong những năm gần đây, do ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu. Tuy nhiên theo hiểu biết của chúng tôi, những kết quả đạt được về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ trên chủ yếu mới dừng lại ở trường hợp ngoại lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ôtônôm) và miền xét phương trình là bị chặn (xin xem thêm phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu dưới đây). Việc phát triển những kết quả này cho trường hợp không ôtônôm và trong miền không bị chặn là những vấn đề lí thú, có nhiều ý nghĩa thực tiễn, nhưng khó vì đòi hỏi những cách tiếp cận và công cụ kĩ thuật mới.

Chúng tôi sẽ chọn vấn đề nghiên cứu này đối với một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes, xuất hiện trong cơ học chất lỏng, làm đề tài nghiên cứu cho luận án tiến sĩ của mình.

  1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Như đã được đề cập đến trong mục trước, lớp hệ phương trình dạng Navier- Stokes xuất hiện khi cần mô tả chuyển động của chất lỏng dưới những điều kiện vật lí nhất định. Chính bởi tầm quan trọng của chúng, lớp hệ phương trình này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây. Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán,   ta thường quan tâm đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng vì khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thế phát triển của hệ trong tương lai và từ đó có thể đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp.

Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến, khi đó các hệ động lực tương ứng rất phức tạp vì nó là vô hạn chiều, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút. Lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển ra đời vào khoảng những năm 80 của thế kỉ XX. Cho đến nay, sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục đã được nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến ôtônôm và một số lớp phương trình vi phân hàm (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [2, 13, 49]). Tuy nhiên, khi phương trình là không ôtônôm, chẳng hạn khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, quỹ đạo nghiệm không còn là bất biến dương đối với phép tịnh tiến theo thời gian và do đó lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của những hệ động lực không ôtônôm, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút đều [12] hoặc lí thuyết tập hút lùi [9]; xin xem các cuốn chuyên khảo [10, 13] về những kết quả gần đây về hai loại tập hút này.

Nỗ lực đầu tiên để mở rộng khái niệm tập hút toàn cục sang trường hợp không ôtônôm dẫn đến sự ra đời của tập hút đều. Tuy nhiên, lí thuyết tập hút đều chỉ giải quyết được một lớp nhỏ các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian (thường phải giả thiết các hàm ngoại lực f là bị chặn tịnh tiến), không đảm bảo tính chất bất biến của tập hút toàn cục, và nói chung tập hút đều không thỏa mãn nguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là thường có số chiều fractal bằng vô cùng). Hơn nữa, mặc dù biến thời gian xuất hiện tường minh trong phương trình, tập hút đều không phụ thuộc vào biến thời gian.

Để khắc phục các hạn chế trên, lí thuyết tập hút lùi ra đời. Tập hút lùi xuất hiện khi ta cố định thời điểm cuối t và xét dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ khi thời điểm đầu τ → −∞; được định nghĩa là một họ các tập phụ thuộc vào thời gian, compact, bất biến, hút họ các tập trong một không gian nhất định (ví dụ họ các tập bị chặn trong không gian pha). Các tính chất này là sự mở rộng một cách tự nhiên các tính chất của tập hút toàn cục trong trường hợp ôtônôm. Ta cũng thường chứng minh được tập hút lùi thỏa mãn nguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là có số chiều fractal hữu hạn), một tính chất rất quan trọng khi nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều. Hơn nữa, so với các lí thuyết tập hút khác, lí thuyết tập hút lùi ra đời muộn hơn và hiện nay vẫn đang là vấn đề rất thời sự. Lí thuyết tập hút lùi cũng giải quyết được cho một lớp rộng hơn các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian so với tập hút đều, cho phép xử lí các phương trình đạo hàm riêng với đuôi ngẫu nhiên (với một chút điều chỉnh nhỏ để trở thành lí thuyết tập hút ngẫu nhiên), một lớp phương trình rất rộng lớn và quan trọng. Xin xem thêm cuốn chuyên khảo gần đây [10] về ý nghĩa cũng như mối quan hệ giữa tập hút lùi với các loại tập hút khác như tập hút toàn cục và tập hút  đều.

Chính vì vậy, việc nghiên cứu dáng diệu tiệm cận nghiệm của những hệ phương trình trong cơ học chất lỏng, nói riêng là những hệ phương trình dạng Navier-Stokes, thông qua việc chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại và các tính chất của tập hút lùi là một trong những vấn đề thời sự hiện nay, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.

Trong các biến dạng của hệ phương trình Navier-Stokes đã được đề cập đến ở mục trước, có hai dạng rất được quan tâm trong thời gian gần đây.

Thứ nhất là lớp hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt có dạng

ut  νuα2∆ut  + (u · ∇)u + ∇p          = g,  x ∈ Ω, t > τ,

(1)

                        ∇ · u                                  = 0,  x ∈ Ω, t > τ,

 

trong đó α là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất  lỏng.

Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt mô tả chuyển động của các chất lỏng loại Kelvin-Voigt, không nén được, nhớt, đàn hồi (với tham số đặc trưng cho tính đàn hồi là α) (xem [38]). Chú ý rằng khi α = 0 hệ Navier-Stokes-Voigt trở thành hệ Navier-Stokes cổ điển và khi ν = 0 ta được mô hình Bardina dạng đơn giản, mô tả chuyển động của các chất lỏng không nhớt [8]. Vì vậy, gần đây, hệ (1) cũng được E.S. Titi và các cộng sự sử dụng để chính qui hóa hệ phương trình Navier-Stokes, từ đó xấp xỉ hệ phương trình này trong không gian ba chiều khi α nhỏ, giúp mô phỏng số trực tiếp nghiệm của hệ trong cả hai trường hợp điều kiện biên tuần hoàn và điều kiện biên Dirichlet (xem [8]).

Trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt trong không gian ba chiều đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Khi ngoại lực g không phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại và duy nhất nghiệm được chứng minh lần đầu tiên bởi A.P. Oskolkov trong [38]. Sau đó, V.K. Kalantarov đã chứng minh sự tồn tại và đánh giá số chiều của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ này [28, 29]. Gần đây, trong các công trình [31, 32], V.K. Kalantarov  và E.S. Titi đã phát triển kết quả trên, chứng minh được tính determining modes và tính chính qui Gevrey của tập hút toàn cục. Trong trường hợp ngoại lực g phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại tập hút đều của quá trình sinh bởi hệ (1) được chứng minh gần đây trong [15, 40, 51] khi ngoại lực là hàm  bị chặn tịnh tiến, và sự tồn tại tập hút lùi của hệ (1) được chứng minh trong [19]. Tuy nhiên, tất cả các kết quả nhận được ở trên đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ba chiều là ở trong miền bị chặn. Theo hiểu biết của chúng tôi, chỉ có công trình [11] là xét hệ Navier-Stokes-Voigt hai chiều trong  miền không bị chặn với ngoại lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ôtônôm) và chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ.

Vì vậy, còn nhiều vấn đề mở cần được nghiên cứu liên quan đến hệ Navier- Stokes-Voigt ba chiều, nói riêng những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này là:

  • Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút lùi) trong trường hợp ba chiều khi ngoại lực g phụ thuộc vào biến thời gian t (trường hợp không ôtônôm), và miền xét phương trình không nhất thiết bị chặn (nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré).
  • Nghiên cứu tính trơn của tập hút lùi.
  • Nghiên cứu tính nửa liên tục trên tại α = 0 của tập hút lùi trong trường hợp hai chiều, tức là so sánh tập hút của hệ Navier-Stokes-Voigt với tập hút của hệ Navier-Stokes giới hạn tương ứng. Ở đây chỉ xét được trường hợp hai chiều vì tính đặt đúng toàn cục của hệ Navier-Stokes ba chiều vẫn là vấn đề mở rất lớn.

Khó khăn gặp phải khi nghiên cứu các vấn đề trên, trước hết là do sự có mặt của số hạng −α2∆ut, làm mất đi tính chất parabolic (giống như hệ Navier- Stokes ban đầu) của hệ phương trình (1). Cụ thể, nghiệm của hệ không trơn hơn điều kiện ban đầu, tương tự tính chất của phương trình hyperbolic và hệ quả là hệ động lực tương ứng chỉ có tính chất tiêu hao yếu. Điều này gây ra nhiều khó khăn khi chứng minh sự tồn tại tập hút lùi và chứng minh tính

trơn của tập hút. Tiếp theo, do miền được xét là không bị chặn, nên các phép nhúng Sobolev cần thiết chỉ liên tục mà không compact, dẫn đến dạng cổ điển của Bổ đề compact Aubin-Lions và do đó các phương pháp thường dùng cho miền bị chặn không còn thích hợp nữa. Để khắc phục, chúng ta cần sử dụng những dạng phù hợp của Bổ đề compact Aubin-Lions, kĩ thuật đánh giá phần đuôi của nghiệm, phương pháp phương trình năng lượng và khai thác hợp lí cấu trúc của phương trình.

Lớp biến dạng thứ hai của hệ Navier-Stokes là lớp hệ Navier-Stokes với số hạng tắt dần (damping term) hoặc hệ Navier-Stokes “được thuần hóa” (tamed Navier-Stokes equations) [42]. Trong [6], Cai và Jiu thêm số hạng tắt dần

r−1

|u| u vào hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều cổ điển và nghiên cứu ảnh hưởng của số hạng đó tới tính đặt đúng của hệ phương trình hệ quả. Số hạng tắt dần này biểu thị các lực kháng cản chuyển động của chất lỏng, thường xuất hiện khi nghiên cứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa, khi có lực kéo, lực ma sát, hay một vài cơ chế tiêu tán khác. Lớp các số hạng tắt dần

này đã được khái quát hóa đủ rộng để mô tả các tác động thường gặp của môi trường trong chuyển động của chất lỏng (xem [33]). Về sự tồn tại duy nhất nghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình này, nói riêng là sự tồn tại tập hút toàn cục hoặc tập hút đều, xin xem các công trình gần đây [6, 7, 26, 33, 45, 46,   52].

Hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer nhận được khi cả hai số hạng −α2∆ut và số hạng tắt dần f (x, u), chẳng hạn f (x, u) = |u|r−1 u, cùng xuất hiện trong hệ Navier-Stokes cổ điển, mô tả chuyển động của các chất lỏng loại Kelvin-Voigt, nhớt, đàn hồi, không nén được trong môi trường có lực cản. Mô hình này được đề cập đến lần đầu tiên trong một báo cáo hội nghị của V.K. Kalantarov năm 2010 (xem [30]) và có dạng như sau



ut









νuα2∆ut

+ (u · ∇)u + f (x, u) + ∇p       = g, x ∈ Ω, t > τ,

∇ · u                                          = 0, x ∈ Ω, t > τ,

u(x, t)                                         = 0, x , t > τ,

u(x, τ )                                         = u0(x), x ∈ Ω, 

(2)

trong đó g = g(x, t) = (g1 , g2 , g3) là hàm ngoại lực, f là số hạng phi tuyến thỏa mãn một số điều kiện cần thiết sẽ được đề cập sau và miền Ω ⊂ R3 được

xét không nhất thiết bị chặn.

Ngoài những khó khăn do sự xuất hiện của toán tử −α2∆ut và miền được xét là không bị chặn như khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, sự xuất hiện của số hạng tắt dần f (x, u) cũng làm việc nghiên cứu hệ (2) trở nên phức tạp hơn. Lúc này, trong hệ phương trình xuất hiện cùng lúc hai số hạng phi tuyến (u · ∇)u f (x, u) cần xử lí, đòi hỏi chúng ta phải kết hợp khéo léo các kĩ thuật đánh giá, cũng như phải lựa chọn các dạng bổ đề compact phù hợp.

Đối với lớp hệ này, mục đích của chúng tôi là nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ với một lớp số hạng phi tuyến f (x, u) khá rộng và hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian, trong miền không nhất thiết bị chặn mà chỉ cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré; đưa ra lời giải cho vấn đề mở được đặt ra bởi V.K. Kalantarov trong [30].

Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút lùi) của hệ Navier- Stokes-Voigt và hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong trường hợp miền xét phương trình (không nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và ngoại lực có thể phụ thuộc thời gian (trường hợp không ôtônôm), làm đề tài nghiên cứu của luận án “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương    trình    dạng     Navier-Stokes”.

  1. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN
  • Mục đích của luận án là nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại của tập hút lùi, tính ổn định của nghiệm dừng) của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes xuất hiện trong cơ học chất lỏng trong trường hợp không ôtônôm và miền xét phương trình thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, cụ thể là hệ phương trình Navier- Stokes-Voigt và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer.
  • Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong trường hợp miền xét phương trình không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và ngoại lực phụ thuộc thời
  • Phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm các nội dung sau:

Nội dung 1: Hệ Navier-Stokes-Voigt không ôtônôm

  • Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm;
  • Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi;
  • Đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi;
  • Nghiên cứu tính trơn của tập hút lùi;
  • Nghiên cứu tính nửa liên tục trên tại α = 0 của tập hút lùi trong trường hợp hai chiều, tức là so sánh tập hút của hệ Navier-Stokes- Voigt và hệ Navier-Stokes giới hạn tương ứng (khi α = 0).

Nội dung 2: Hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm

  • Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm;
  • Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi;
  • Nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng.
  1. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
  • Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ Galerkin, các dạng phù hợp của bổ đề compact, và các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến.
  • Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều không ôtô nôm (xem [2, 10, 13, 37, 41, 49]), và các phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân.

Khi ngoại lực g “lớn” và phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút lùi, một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các hệ động lực không ôtônôm. Để chứng minh tính compact tiệm cận lùi của quá trình, một điều kiện cần thiết cho sự tồn tại tập hút, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình năng lượng của J.M. Ball (cho nghiệm yếu), phương trình enstrophy (cho nghiệm mạnh). Để chứng minh tập hút lùi có số chiều fractal hữu hạn, chúng tôi phát triển phương pháp chứng minh được đưa ra bởi O.A. Ladyzhenskaya. Để chứng minh tính trơn của tập hút, chúng tôi sử dụng phương pháp được phát triển bởi O. Goubet và R. Rosa [21, 22], cụ thể là phương pháp phân tách nghiệm và sử dụng phương trình năng lượng cho ut.

Khi ngoại lực g “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng và chứng minh nghiệm của hệ dần đến nghiệm dừng duy nhất này khi thời gian t ra vô cùng.

  1. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

  • Đối với hệ Navier-Stokes-Voigt không ôtônôm: Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán Navier-Stokes-Voigt không ôtônôm. Chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi; tính trơn của tập hút lùi, tính nửa liên tục trên của tập hút lùi trong trường hợp 2 chiều. Đây là nội dung của Chương
  • Đối với hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm: Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán Kelvin- Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm. Chứng minh được sự tồn tại của tập hút lùi và sự tồn tại, tính ổn định của nghiệm dừng. Đây là nội dung của Chương 3.

Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việc hoàn thiện việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ phương trình dạng Navier-Stokes trong cơ học chất lỏng.

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế, 01 bài đang gửi đăng và đã được báo cáo tại:

  • Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội;
  • Đại hội toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang,
  1. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes- Voigt; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu  của hệ phương trình  Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer.

TẢI TÀI LIỆU VỀ MÁY

Hy vọng với chia sẻ báo cáo thc tp tốt nghiệp   tại công ty trên của chúng tôi sẽ giúp bạn có thể hoàn thành bài báo cáo thc tp tt nghip của mình được tốt nhất.

Chúc các bạn làm bài báo cáo thc tp thành công!

* BQT TAILIEUMAU.NET - THƯ VIỆN TÀI LIỆU HỌC TẬP THÔNG BÁO:
Mọi thông tin về bài viết và những đóng góp vui lòng xin liên hệ: vancongk8sp@gmail.com hoặc 0948.498.186. Mời bạn thích trang Tailieumau.net – Thư viện báo cáo thực tập! trên Facebook và Dịch vụ viết thuê báo cáo thực tập tốt nghiệp để theo dõi các bài viết mới và cùng thảo luận với mọi người nhé.
Hãy cùng mình xây dựng một thư viện học tập dành cho các bạn sinh viên. BQT xin chân thành cảm ơn

Add Comment